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Oct 08, 2023

Vorhersage der Vickers-Härte mithilfe maschineller Lernmethoden

Scientific Reports Band 12, Artikelnummer: 22475 (2022) Diesen Artikel zitieren 1445 Zugriff auf 5 altmetrische Metrikdetails Die Suche nach neuen superharten Materialien ist für Extreme von großem Interesse

Wissenschaftliche Berichte Band 12, Artikelnummer: 22475 (2022) Diesen Artikel zitieren

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Die Suche nach neuen superharten Materialien ist für extreme industrielle Anwendungen von großem Interesse. Allerdings stellt die theoretische Vorhersage der Härte angesichts der Schwierigkeit, das plastische Verhalten von Festkörpern zu modellieren, immer noch eine Herausforderung für die wissenschaftliche Gemeinschaft dar. Im Laufe der Jahre wurden verschiedene Härtemodelle vorgeschlagen. Dennoch sind sie entweder zu kompliziert in der Anwendung, ungenau bei der Extrapolation auf eine Vielzahl von Festkörpern oder erfordern Programmierkenntnisse. In dieser Untersuchung haben wir ein erfolgreiches Modell für maschinelles Lernen erstellt, das den Gradient Boosting Regressor (GBR) zur Vorhersage der Härte implementiert und die mechanischen Eigenschaften eines Festkörpers (Volumenmodul, Schermodul, Young-Modul und Poisson-Verhältnis) als Eingabevariablen verwendet. Das Modell wurde mit einer experimentellen Vickers-Härtedatenbank von 143 Materialien trainiert, um verschiedene Arten von Verbindungen sicherzustellen. Die Eingabeeigenschaften wurden aus dem theoretischen elastischen Tensor berechnet. Die Datenbank des Materials Project wurde auf der Suche nach neuen superharten Materialien durchsucht und unsere Ergebnisse stimmen gut mit den verfügbaren experimentellen Daten überein. In dieser Arbeit werden auch andere alternative Modelle zur Berechnung der Härte aus mechanischen Eigenschaften diskutiert. Unsere Ergebnisse stehen in einer frei zugänglichen, benutzerfreundlichen Online-Anwendung zur weiteren Verwendung in zukünftigen Studien neuer Materialien unter www.hardnesscalculator.com zur Verfügung.

Die Härte ist ein Maß für den Widerstand eines Materials gegenüber lokaler plastischer Verformung. Im Laufe der Jahre wurden mehrere Härteprüftechniken (wie Brinell, Vickers, Knoop und Rockwell) entwickelt, und jede hat ihre eigene Skala. Das Grundprinzip der Härtemessung besteht jedoch darin, einen Eindringkörper unter kontrollierten Belastungsbedingungen in die zu prüfende Oberfläche zu drücken. Je größer die Vertiefung, desto weicher das Material. Die Tiefe und Größe des Eindrucks werden dann in eine Härtezahl umgerechnet. In dieser Arbeit konzentrieren wir uns auf die Vickers-Härte, eine der beliebtesten Techniken, da sie experimentell einfach zu berechnen ist und für alle Materialien unabhängig von der Härte verwendet werden kann. Beim Vickers-Härtetest wird ein sehr kleiner Diamant-Eindringkörper mit einer Pyramidengeometrie verwendet, der einen Winkel von 136\(^\circ\) zwischen den ebenen Flächen der Eindringkörperspitze aufweist. Die Messung der Vickers-Härte wird durch das folgende Verhältnis bestimmt:

Dabei ist F die ausgeübte Kraft (kgf) und d die durchschnittliche Länge der vom Eindringkörper hinterlassenen Diagonale (mm).

Die Suche nach neuen Materialien mit überlegener Härte stößt seit vielen Jahren auf großes Interesse in der wissenschaftlichen Gemeinschaft1,2,3. Diese Materialien werden in extremen industriellen Anwendungen benötigt, beispielsweise für harte Schneidwerkzeuge, abriebfeste und verschleißfeste Beschichtungen. Traditionell sind Diamant, Titannitrid und kubisches Bornitrid (c-BN) die bevorzugten Materialien für diese Anwendungen. Aufgrund der unterschiedlichen chemischen Bindungseigenschaften und chemischen Reaktivität unterliegen sie jedoch Einschränkungen. Beispielsweise reagiert Diamant mit Eisen, und der Syntheseprozess der ersten beiden Materialien erfordert Hochdruck- und Hochtemperaturbedingungen, was ihn kostspielig macht4.

Es hat sich gezeigt, dass First-Principle-Methoden zur Vorhersage vieler physikalischer Eigenschaften von Materialien geeignet sind. Unter vielen existierenden Techniken zeichnet sich die Dichtefunktionaltheorie (DFT) durch ihren praktischen und hilfreichen Ansatz zur Lösung von Systemen kondensierter Materie aus. DFT hat sich zu einem Hauptwerkzeug zur Berechnung von Kristallstrukturen und elastischen Eigenschaften einer Vielzahl von Materialien entwickelt und erzielt beim Vergleich der Ergebnisse mit Experimenten bemerkenswerte Erfolge5. Die Vorhersage der Härte anhand von Ab-initio-Berechnungen ist jedoch keine triviale Aufgabe. Die Härte ist ein Maß für den Widerstand eines Festkörpers gegenüber plastischer Verformung6. Trotz ihres Erfolgs bei der Berechnung elastischer Eigenschaften kann die DFT das plastische Verhalten eines Festkörpers nicht direkt vorhersagen.

In den letzten Jahren wurden Korrelationen zwischen den elastischen Eigenschaften und dem plastischen Verhalten von Materialien hergestellt, um die Härte aus einem theoretischen Ansatz zu bewerten4,7,8. Ein hartes Material weist eine leichte Vertiefung auf. Die beobachtete Form kann mit der elastischen Reaktion eines harten Materials korreliert werden: inkompressibel sein (hoher Kompressionsmodul), sich nicht in eine andere Richtung als die aufgebrachte Last verformen (hoher Schermodul) und sich nicht plastisch verformen (starke gerichtete Bindungen, die verhindern). die Entstehung und Bewegung von Versetzungen)4. Die Poisson-Zahl setzt den Kompressionsmodul und den Schubmodul in Beziehung. Ein hoher Schermodul erfordert einen hohen Kompressionsmodul und eine kleine Poisson-Zahl. Ein niedriger Wert für die Poissonzahl resultiert aus gerichteten Bindungen im Kristall4,8. Beispielsweise beträgt die Poisson-Zahl für Diamant 0,07, 0,1 für ein typisches kovalentes Material und 0,3 für ein ionisches Material8. Andererseits hängt der Widerstand eines Materials gegen plastische Verformung von der chemischen Umgebung des Kristalls ab; Ein Material mit kurzen kovalenten Bindungen minimiert die Aktivierung und Beweglichkeit von Versetzungen und erhöht die Härte. Daher sind kovalente Materialien im Allgemeinen härter als ionische oder metallische4. Angesichts der Komplexität des Problems gibt es keine universelle Methode, die die Härte anhand zuvor bekannter Eigenschaften eines Materials genau vorhersagt.

Unter Berücksichtigung dieser Ideen wurden im Laufe der Jahre mehrere semiempirische Beziehungen zwischen Härte und elastischen Eigenschaften von Materialien vorgeschlagen7,9,10,11,12. Normalerweise stimmen diese Korrelationen einigermaßen gut mit dem Experiment für eine bestimmte Gruppe von Materialien überein, bei einer Extrapolation auf eine Vielzahl von Festkörpern würden sie jedoch nicht gelten.

In dieser Untersuchung haben wir verschiedene Modelle zur Berechnung der Härte anhand der mechanischen Eigenschaften eines Festkörpers vorgeschlagen. Die mechanischen Eigenschaften (Volumenmodul, Schermodul, Elastizitätsmodul und Poissonzahl) wurden aus dem theoretischen elastischen Tensor ermittelt. Wie in Abb. 1 dargestellt, haben wir zwei Ansätze verwendet: klassisches und maschinelles Lernen (ML).

Im klassischen Ansatz haben wir die sechs verschiedenen makroskopischen Beziehungen für die Härte untersucht, die Ivanovskii in Lit. 13 schön dargestellt hat und die in den Gleichungen aufgeführt sind. (2)–(7), mit einer Datenbank von mehr als 140 Materialien. Diese Beziehungen hängen ausschließlich von mechanischen Eigenschaften ab. Wir haben die Vickers-Härte (\(H_v\)) mithilfe der sechs Beziehungen berechnet und die Ergebnisse mit dem Experiment verglichen, um zu bewerten, welche Methode für jede Materialart besser geeignet ist. Wir haben die Korrelation zwischen den sechs verschiedenen Härtebeziehungen und einigen physikalischen Eigenschaften von Festkörpern (Kristallsystem, Bandlücke und Dichte) beobachtet. Aus diesem Ansatz heraus haben wir den klassischen Rechner entwickelt, ein Auswahlmodell für die beste Beziehung zur Berechnung der Härte basierend auf einfachen Eigenschaften eines Festkörpers.

Angesichts des exponentiellen Wachstums der Rechenleistung und der Entwicklung hocheffizienter Algorithmen wird maschinelles Lernen heute zur Lösung zahlreicher Arten von Problemen eingesetzt14. Im zweiten Teil dieser Studie haben wir ein erfolgreiches Regressionsmodell für maschinelles Lernen (GBR) erstellt, um den Wert der Härte direkt vorherzusagen, indem wir die mechanischen Eigenschaften eines Festkörpers als Eingabevariablen verwendeten. Dieses Modell zeigte die höchste Vorhersagekraft unter allen in dieser Arbeit vorgeschlagenen Modellen. Da viele Wissenschaftler jedoch zögern, maschinelles Lernen einzusetzen, haben wir auch ein Klassifizierungs-ML-Modell (GBC) erstellt, das die beste Beziehung zur Berechnung der Härte mit denselben Daten und Eingabevariablen vorhersagt. Mit dieser Methode können Benutzer die beste Beziehung zur Berechnung der Härte auswählen und dabei die Robustheit moderner ML-Algorithmen nutzen, ohne den Überblick über die Physik hinter der Berechnung zu verlieren. Beide ML-Modelle, GBR und GBC, werden in dieser Arbeit als „Rechner für maschinelles Lernen“ bezeichnet.

Sowohl klassische als auch ML-Schemata werden diskutiert, miteinander verglichen und erfolgreich zur Vorhersage neuer harter und superharter Materialien eingesetzt. Im Allgemeinen hat sich der Rechner für maschinelles Lernen als genauer erwiesen als der klassische Rechner. Allerdings haben beide Schemata eine überlegene Vorhersagekraft gezeigt. Das genaueste Modell erwies sich als maschinelles Lernen GBR, gefolgt von GBC und dem klassischen Modell, das Kristallsystem und Dichte gleichzeitig verwendet.

Ziel dieser Untersuchung ist es, wertvolle Werkzeuge für die theoretische Vorhersage der Härte bereitzustellen. Der Härterechner, der klassische und ML-Prädiktoren umfasst, wird in einer frei zugänglichen Online-Anwendung präsentiert, damit Benutzer zwischen den verschiedenen verfügbaren Ergebnissen unterscheiden können. Wir glauben, dass sich der Härterechner von anderen in der Vergangenheit vorgeschlagenen Methoden abhebt, weil: (1) er für eine Vielzahl von Festkörpern verwendet werden kann, (2) er einfach zu verwenden ist, (3) er für jedermann kostenlos verfügbar ist. Zugriff auf eine Website, für die keine Programmierkenntnisse erforderlich sind (4) und die gleichzeitig verschiedene Härtemodelle bereitstellt. Auch wenn in dieser Arbeit GBR das empfohlene Modell ist, haben Benutzer die Möglichkeit, stattdessen GBC oder einen der klassischen Rechner in Betracht zu ziehen.

Konzeptdiagramm des Härterechners.

Für den größten Teil der Datenbank wurde der elastische Tensor aus der Datenbank des Materials Project15 extrahiert, während er für einige Materialien (18) nach ersten Prinzipien berechnet wurde. Die letztgenannten Materialien wurden der Datenbank hinzugefügt, um eine große Materialvielfalt für die Studie sicherzustellen. Die nachfolgenden elastischen Eigenschaften: Volumenmodul (B), Schermodul (G), Elastizitätsmodul (Y) und Poissonzahl (\(\nu\)) wurden mit dem MechElastic-Paket16 berechnet. Die in dieser Untersuchung verwendete detaillierte Datenbank, einschließlich der experimentellen Härte und der mechanischen Eigenschaften, wird in den Zusatzinformationen dargestellt.

Die First-Principles-Berechnungen wurden im Rahmen von DFT17 durchgeführt. Die Austausch- und Korrelationseffekte wurden mithilfe der Generalized Gradient Approximation (GGA) mit der Parametrisierung von Perdew-Burke-Ernzerhof (PBE)18 behandelt. Die Wellenfunktionen der Valenzelektronen wurden mit der Projektor-Augmented-Wave-Methode (PAW)19 beschrieben. Die Grenzenergie und das gammazentrierte K-Punkt-Netz20 wurden jeweils konvergiert, um einen maximalen Fehler von 1 meV/Atom sicherzustellen. Die selbstkonsistente elektronische Schleife wurde auf eine maximale Gesamtenergiedifferenz von \(10^{-6}\) eV eingestellt. Die Berechnungen wurden mit dem Vienna Ab initio Simulation Package (VASP)21,22,23,24 durchgeführt.

Für jedes Material wurde die Vickers-Härte mithilfe der folgenden sechs verschiedenen semiempirischen Beziehungen geschätzt:

Jedes Ergebnis wurde mit dem experimentellen Wert verglichen, um den absoluten Fehler in jeder Berechnung zu bestimmen. Der absolute Fehler wurde als absoluter Wert der Differenz zwischen der experimentellen (\(H_{exp}\)) und der vorhergesagten (\(H_{pred}\)) Vickers-Härte definiert, wie in der folgenden Gleichung dargestellt.

Beispielsweise ist Diamant mit einer experimentellen Vickers-Härte von 96 GPa als das härteste Schüttgut bekannt. Aus dem elastischen Tensor, der in der Datenbank des Materials Project (mp-66) bereitgestellt wird, haben wir seinen theoretischen Volumenmodul (\(B = 435\) GPa), seinen Schermodul (\(G = 521\) GPa) und seinen Young-Modul (\) berechnet. (Y = 1117\) GPa) und Poissonzahl (\(\nu = 0,07\)). Anhand dieser Ergebnisse ist es möglich, die Härte von Diamant mithilfe der sechs in den Gleichungen aufgeführten Beziehungen abzuschätzen. (2)–(7) wie folgt: \(H_{1a} = 76,8\) GPa, \(H_{1b} = 67,8\) GPa, \(H_{2} = 89,3\) GPa, \(H_{ 3} = 70,9\) GPa, \(H_{4} = 58,3\) GPa und \(H_{5} = 93,0\) GPa. Wie beobachtet, funktionieren einige Beziehungen besser als andere. Der absolute Fehler (Gleichung 8) zeigt die Genauigkeit jeder Beziehung bei der Vorhersage der Härte eines bestimmten Materials. Im Fall von Diamant ist \(H_{5}\) die beste Beziehung zur Schätzung der Härte, da er den geringsten absoluten Fehler aufweist (3,0 GPa).

Um zu bestimmen, welche Härteberechnungsmethode für jeden Materialtyp besser geeignet ist, wurden sie nach Kristallsystem, elektronischer Bandlücke (\(\Delta E\)) und Dichte (\(\rho\)) klassifiziert. Entsprechend der Bandlücke wurden Materialien als Isolatoren (\(\Delta E > 2 eV\)), Halbleiter (\(\Delta E < 2 eV\)) und Metalle (\(\Delta E =0\)) definiert. Zusätzlich wurden die Verbindungen nach niedrig (\(\rho <4\) g/cm\(^3\)), mittel (4 g/cm\(^3 \le \rho \le\) 9 g/cm geordnet \(^3\)) und hohe Dichte (\(\rho>\) 9 g/cm\(^3\)). Jedes dieser Modelle wurde analysiert und miteinander verglichen, um festzustellen, welches den mittleren absoluten Fehler (MAE) bei der Härteberechnung wirksamer minimiert. Der MAE ist in Gleichung 9 definiert, wobei N die Anzahl der Proben ist.

Weitere Korrelationen, einschließlich zweier Variablen gleichzeitig (Kristallsystem + Bandlücke, Kristallsystem + Dichte und Bandlücke + Dichte), wurden ebenfalls untersucht.

Um eine Methode zu finden, die die Härte auf der Grundlage verschiedener elastischer Eigenschaften vorhersagt, haben wir verschiedene überwachte Lernende eingesetzt, wobei die Härte die erwartete Ausgabe ist und der Benutzer die mechanischen Eigenschaften eines Festkörpers (B, G, Y, \(\) angeben muss. nu\)) als Eingabevariablen. Es gibt zwei Arten überwachter Lerntechniken: Klassifizierung und Regression. In dieser Studie zielen die Klassifizierungsalgorithmen auf die beste Härteberechnungsbeziehung ab (\(H_{1a}\), \(H_{1b}\), \(H_{2}\), \(H_{3}\), \(H_{4}\) oder \(H_{5}\)), während die Regressionsalgorithmen darauf abzielen, den Wert der Härte direkt vorherzusagen. Um verschiedene Algorithmen zu generieren und zu vergleichen, wurde die erstellte experimentelle Datenbank mit 143 Materialien daher in Zug- und Testsätze aufgeteilt, wobei der Zugsatz 80 % der Daten und der Testsatz die restlichen 20 % enthält. Dieser Ansatz ist für eine Out-of-Sample-Genauigkeit unerlässlich.

Klassifikationsalgorithmen für überwachtes Lernen wie K-Nearest Neighbors (KNN), Decision Trees (DT), Logistic Regression (LR), Support Vector Machines (SVM), Random Forest (RF), AdaBoost (ADA) und Gradient Boosting Classifier (GBC). ) wurden verwendet, um Algorithmen zu generieren, die in der Lage sind, die beste Beziehung zur Härteberechnung anhand der mechanischen Eigenschaften eines Materials (B, G, Y und \(\nu\)) als Eingabe vorherzusagen25.

KNN findet die k nächsten Trainingsbeispiele (k ist die Anzahl der nächsten Nachbarn) und weist dem neuen Objekt die häufigste Klasse unter seinen k nächsten Nachbarn zu. DT ist ein Algorithmus, der die Daten nach bestimmten Parametern, in diesem Fall den mechanischen Eigenschaften, aufteilt. LR arbeitet mit der Wahrscheinlichkeit, dass ein Objekt zu einer bestimmten Klasse gehört. SVM ist ein Algorithmus, der Fälle klassifiziert, indem er ein Trennzeichen oder eine Grenze findet. RF wird aus einer Vielzahl von Entscheidungsbäumen aufgebaut und die Ausgabe ist die von den meisten Bäumen ausgewählte Klasse. ADA wird von einer Vielzahl schwacher Lernender mit jeweils unterschiedlicher Gewichtung aufgebaut, und das Ergebnis ist die Klasse, die in der gewichteten Summe die meisten Punkte erhält. Gradient Boosting (GBC für Klassifizierungsaufgaben) ist ein Ensemble von Entscheidungsbäumen, die anschließend basierend auf den Fehlern des vorherigen Baums erstellt werden. In der Endausgabe haben alle Bäume die gleiche Bedeutung.

Der KNN-Algorithmus wurde für einen k-Parameter von drei Nachbarn optimiert. Der DT-Klassifikator wurde für eine maximale Baumtiefe von drei definiert. Der Kehrwert der Regularisierungsstärke für LR wurde auf 0,01 festgelegt und der Löser liblinear wurde verwendet, da er für kleine Datensätze am besten geeignet ist. Die SVM wurde mit dem Radial Basis Function-Kernel trainiert. Der RF wurde mit einer maximalen Baumtiefe von zwei und einem zufälligen Startwert von null erstellt. Der ADA-Klassifikator wurde mit einer maximalen Anzahl von Schätzern von 100 und einem Zufallsstartwert von Null festgelegt. Der GBC wurde mit 100 Schätzern, einer maximalen Tiefe der einzelnen Regressionsschätzer von 1, einer Lernrate von 0,6 und einem Zufallsstartwert von Null parametrisiert. Die übrigen Parameter haben in allen Fällen Standardwerte.

Die verschiedenen Klassifikatoren wurden anhand der Out-of-Sample-Genauigkeit und des Jaccard-Index verglichen. Diese Metriken sind wie folgt definiert:

Dabei ist N wiederum die Anzahl der Stichproben, \({\hat{y}}\) die vorhergesagten Beschriftungen und y die tatsächlichen Beschriftungen. In jedem Fall wurde auch die MAE berechnet.

Gradient Boosting kann in Regressions- und Klassifizierungsaufgaben verwendet werden. Um die Härte direkt vorherzusagen, wurde der Gradient Boosting Regressor (GBR) implementiert25. GBR ist eine überwachte lernende Regressionstechnik, die ein Vorhersagemodell mit denselben Eingabevariablen erstellt, die zuvor verwendet wurden (B, G, Y, \(\nu\)). Der Algorithmus wurde nur mit einem zufälligen Startwert von Null parametrisiert. Alle anderen Parameter haben Standardwerte. Der MAE wurde ebenfalls berechnet, um die Genauigkeit des Modells zu messen.

Wir begannen mit der Definition der besten Härteberechnungsbeziehung basierend auf dem Kristallsystem. Wie in Tabelle 1 zu sehen ist, ist für die 143 in dieser Studie berücksichtigten Strukturen die Beziehung \(H_{1a}\) mit einem MAE von 3,3 GPa am genauesten. Diese Beziehung ist auch für kubische Strukturen die bevorzugte. Dennoch funktionieren einige Kristallsysteme mit anderen Näherungen besser. Die hexagonalen, monoklinen und tetragonalen Gruppen bevorzugen die \(H_{4}\)-Beziehung, während die orthorhombischen und trigonalen Gruppen ihre MAE durch die Verwendung von \(H_{2}\) minimieren. Die trikline Gruppe funktioniert besser mit der \(H_{5}\)-Beziehung. Die Berechnung der Härte mit der ausgewählten Beziehung für jeden Kristalltyp reduziert den allgemeinen MAE von 3,3 auf 3,0 GPa.

Wie beobachtet, funktionieren Systeme, bei denen alle Gitterparameter gleich sind (kubisch und trigonal), erfolgreich mit Härtebeziehungen, die ausschließlich vom Schermodul abhängen (\(H_{1a}\) bzw. \(H_{2}\)). . Andererseits zeigen Systeme mit allen Winkeln gleich 90\(^{\circ }\) (kubisch, orthorhombisch und tetragonal) keinen so klaren Trend. Während kubische und orthorhombische Systeme auch besser mit dem Schubmodul (\(H_{1a}\) und \(H_{2}\)) funktionieren, bevorzugen tetragonale Systeme eine Kombination aus Kompressionsmodul und Poissonzahl (\(H_{4). }\)), und der Schubmodul erscheint als zweitbeste Option (\(H_{1a}\)). Dennoch deuten die letztgenannten Ergebnisse darauf hin, dass der Schermodul für hochsymmetrische Systeme im Allgemeinen ein guter Deskriptor für die Härte ist. Möglicherweise ist es einfach, die Gesamtsteifigkeit eines Festkörpers in einem einzigen Parameter zu erfassen, wenn das System hochsymmetrisch ist.

Andererseits weisen Systeme mit zwei einander gleichen Gitterparametern und genau definierten Winkeln (hexagonal und tetragonal) eine Neigung zu einer Kombination aus Kompressionsmodul und Poissonzahl (\(H_{4}\)) auf. Insbesondere bietet ein Ausdruck, der gleichzeitig von diesen beiden Parametern abhängt, in diesen Fällen eine erhebliche Flexibilität bei der Beschreibung der Steifigkeit eines Festkörpers.

Schließlich zeigen Systeme mit niedriger Symmetrie, bei denen alle Gitterparameter voneinander verschieden sind und bei denen sich mindestens ein Winkel von 90\(^{\circ }\) unterscheidet (monoklin und triklin), eine Präferenz für die Kombination des Kompressionsmoduls mit einem anderen Eigentum. Monokline Strukturen funktionieren besser mit der Kombination aus Kompressionsmodul und Poissonzahl (\(H_{4}\)), während trikline Strukturen die Kombination aus Kompressionsmodul und Schubmodul (\(H_{5}\)) bevorzugen.

Ähnlich wie in der vorherigen Diskussion wurden zusätzliche Analysen durchgeführt, wobei nun jedoch unterschiedliche elektronische Bandlücken (Isolatoren, Halbleiter und Metalle) und Dichten (niedrig, mittel und hoch) als Kriterien zur Unterscheidung der elastischen Reaktion berücksichtigt werden. Der allgemeine MAE betrug 3,0 GPa bzw. 2,6 GPa.

Tabelle 2 zeigt die Details zur Bandlückenklassifizierung. Der beste Ansatz für Isolatoren ist \(H_{2}\), für Halbleiter \(H_{1a}\) und für Metalle \(H_{4}\). Diese Ergebnisse deuten darauf hin, dass bei Isolatoren und Halbleitern der Schermodul ein besserer Härteindikator ist, während metallische Systeme mit einer Kombination aus Kompressionsmodul und Poissonzahl besser funktionieren. Das letztgenannte Ergebnis legt nahe, dass der Schermodul die Gesamtsteifigkeit eines Festkörpers erfassen kann, wenn er aus starken gerichteten Atombindungen besteht.

Tabelle 3 enthält die Details für die Dichteanalyse. Materialien mit geringer Dichte verhalten sich bei der \(H_{2}\)-Näherung besser, während Materialien mit mittlerer oder hoher Dichte bei \(H_{4}\) tendieren. Diese Beobachtung stimmt mit den vorherigen Erkenntnissen überein, da Materialien niedriger Dichte normalerweise starke gerichtete Bindungen und kleine Packungsfaktoren aufweisen, während Materialien hoher Dichte metallische Bindungen und dicht gepackte Kristallstrukturen aufweisen.

Um den absoluten Fehler zu minimieren, wurde eine ähnliche Übung mit zwei Variablen gleichzeitig durchgeführt. Tabelle 4 zeigt die Ergebnisse für die verschiedenen Einzel- und Kombinationsmethoden. Die erste Zeile stellt das bestmögliche Ergebnis dar; wenn die Härte jedes Materials mit der Beziehung (\(H_{1a}\), \(H_{1b}\), \(H_{2}\), \(H_{3}\), \( H_{4}\) oder \(H_{5}\)), die jeweils den absoluten Fehler minimiert. Die MAE-Spalte legt nahe, dass der beste Weg zur Reduzierung des Härteberechnungsfehlers darin besteht, gleichzeitig das Kristallsystem und die Dichteklassifizierung (CLA\(_2\)) zu berücksichtigen. Dieses Modell weist den niedrigsten MAE von 2,2 GPa mit einer Standardabweichung von 2,2 GPa auf. Die zweitbeste Kombination ist Kristallsystem und Bandlücke (CLA\(_1\)), gefolgt von Bandlücke und Dichte (CLA\(_3\)).

Obwohl die Kombination aus Kristallsystem und Dichte das beste Ergebnis liefert, zeigen die in Tabelle 4 dargestellten Daten keinen statistisch signifikanten Unterschied zwischen den drei kombinierten Methoden (CLA\(_1\), CLA\(_2\) und CLA\(_3\ )). Basierend auf der letztgenannten Beobachtung wurde „The Classic Calculator“ als Auswahlmodell entwickelt, das einfache Eigenschaften eines Festkörpers wie Kristallsystem, Bandlücke und Dichte berücksichtigt.

Vergleich der experimentellen Vickers-Härte mit den vorhergesagten Werten unter Verwendung von: (a) dem klassischen Rechner, wie in Tabelle 5 dargestellt (CLA\(_1\)), (b) dem maschinellen Lernrechner unter Verwendung von GBC und (c) GBR.

Tabelle 5 fasst die Ergebnisse unter gleichzeitiger Berücksichtigung des Kristallsystems und der Bandlücke zusammen. Diese Tabelle stellt die Beziehung dar, die den Fehler bei der Härteberechnung basierend auf diesen beiden Kriterien minimiert. Abbildung 2a vergleicht die experimentellen mit den theoretischen Daten, die mit dieser Methode berechnet wurden. Die meisten Datenpunkte liegen nahe der roten Linie, was darauf hindeutet, dass die berechneten Werte den experimentellen Daten stark ähneln. Das Bestimmtheitsmaß (\(R^2 = 0,95\)) zwischen den beobachteten und geschätzten Werten zeigt ebenfalls eine starke Korrelation, die das Modell validiert.

In ähnlicher Weise präsentiert Tabelle 6 die Ergebnisse der gleichzeitigen Betrachtung des Kristallsystems und der Dichte und Tabelle 7 die Bandlücke und Dichte. Jeder der drei verschiedenen Ansätze des klassischen Rechners kann verwendet werden, um abhängig von den verfügbaren Informationen eine geeignete Beziehung zur Berechnung der Härte auszuwählen.

Beispielsweise ist Diamant ein Isolator niedriger Dichte (\(\rho = 3,5\) \(g/cm^3\)) (\(\Delta E = 4,3\) eV) mit einem kubischen Kristallsystem (\(\ rho\) und \(\Delta E\) entsprechen theoretischen Werten, die aus der Datenbank des Materials Project extrahiert wurden. Tabelle 5 zeigt den klassischen Rechner unter Berücksichtigung des Kristallsystems und der Bandlücke gleichzeitig (CLA\(_1\)). Letzteres schlägt im Fall von Diamant vor, die Beziehung \(H_{2}\) (89,3 GPa) zu verwenden, um die Härte des Diamanten abzuschätzen. Tabelle 6 ist der klassische Rechner, der Kristallsystem und Dichte gleichzeitig berücksichtigt (CLA\(_2\)). Für Diamant schlägt CLA\(_2\) die Verwendung der Beziehung \(H_{5}\) (93,0 GPa) zur Berechnung der Härte vor. Tabelle 7 zeigt den klassischen Rechner, der auf Bandlücke und Dichte basiert (CLA\(_3\)). Im Fall von Diamant empfiehlt CLA\(_3\) die Verwendung der Beziehung \(H_{2}\) (89,3 GPa) für die Härte. Wie beobachtet, zeigen die drei klassischen Modelle sehr ähnliche Ergebnisse, aber eines kann genauer sein als das andere. Da die experimentelle Vickers-Härte von Diamant 96 GPa beträgt, liefert CLA\(_2\) die beste Vorhersage, was mit den in Tabelle 4 dargestellten Ergebnissen übereinstimmt. Abhängig von den verfügbaren Informationen kann jedoch jedes der klassischen Modelle zur Schätzung der Härte verwendet werden .

Tabelle 8 zeigt die Leistung verschiedener überwachter maschineller Lerntechniken beim Versuch, das Härteproblem zu lösen. Die Ergebnisse für sieben verschiedene Klassifizierungsmethoden und einen Regressionsalgorithmus werden angezeigt und miteinander verglichen.

Die Klassifizierungsalgorithmen zielen auf die jeweils beste Berechnungsrelation ab. Wie in Tabelle 8 zu sehen ist, weisen GBC (31 %) und DT (31 %) die höchste Genauigkeit auf, gefolgt von KNN (21 %). Der Jaccard-Index spiegelt nahezu identisch dasselbe Verhalten wider. Auf den ersten Blick könnte eine Genauigkeit von 31 % auf eine geringe Leistung hindeuten. Dies bedeutet jedoch nicht unbedingt, dass der Klassifikator schlechte Arbeit geleistet hat, da einige Materialien mit zwei, drei oder vier Härtebeziehungen erfolgreich arbeiten können. Um ein ausgewogeneres Maß für die Leistung der verschiedenen Klassifikatoren zu gewährleisten, haben wir daher die besten ausgewählt, indem wir den MAE minimiert haben. GBC wies den niedrigsten MAE (1,4 GPa) auf, gefolgt von KNN (2,3 GPa), DT (2,9 GPa) und SVM (2,9 GPa). Außerdem wies GBC (1,9 GPa) die niedrigste Standardabweichung auf, gefolgt von KNN (2,9 GPa) und SVM (3,2 GPa). Basierend auf den letztgenannten Ergebnissen ist es unbestreitbar, dass GBC aufgrund seiner höheren Genauigkeit und seines niedrigen MAE der beste Klassifikator ist.

GBC ist eine sehr ausgefeilte Technik, daher ist es nicht verwunderlich, dass sie KNN oder DT übertrifft. Es ist jedoch bemerkenswert zu beobachten, dass KNN zwar eine geringere Genauigkeit aufweist, sein MAE jedoch kleiner als der von DT ist. Dies bestätigt die Tatsache, dass Materialien mit ähnlichen mechanischen Eigenschaften mit dem gleichen Verhältnis zur Schätzung der Härte (\(H_{1a}\), \(H_{1b}\), \(H_{2}\), \( H_{3}\), \(H_{4}\) oder \(H_{5}\)). Andererseits hatte DT die gleiche Genauigkeit wie GBC, aber sein MAE ist sehr hoch, was bedeutet, dass der Algorithmus bei den erfolglosen Stichproben eine schlechte Leistung aufwies.

Abbildung 2b zeigt die experimentellen und vorhergesagten Härtewerte mithilfe von GBC. Wie beobachtet, gibt es einen klaren linearen Trend, der durch das Bestimmtheitsmaß (\(R^2 = 0,98\)) bestätigt wird. Außerdem ist die Streuung der Datenpunkte in Abb. 2b geringer als die in Abb. 2a beobachtete, was darauf hindeutet, dass der GBC ein besseres Modell für zukünftige Prognosen bietet als der klassische Rechner.

Die Ergebnisse im vorherigen Abschnitt zeigen, dass der Gradient Boosting Classifier (GBC) der beste Algorithmus zur Auswahl der Härteberechnungsbeziehung angesichts der Eigenschaften eines Festkörpers ist. Gradient Boosting ist ein robuster Algorithmus, der für Regressions- oder Klassifizierungsaufgaben verwendet wird. Da der Klassifikator hervorragende Arbeit geleistet hat, wurde in dieser Studie der Gradient Boosting Regressor (GBR) implementiert, um den Wert der Härte direkt vorherzusagen. Wie in Tabelle 8 zu sehen ist, ist die Leistung des Regressors besser als die des Klassifikators. Während der Regressor einen MAE von 1,3 GPa anzeigt, zeigt der Klassifikator 1,4 GPa an, ein kleiner Unterschied von 0,1 GPa, der den Regressor gegenüber dem Klassifikator bevorzugt. Darüber hinaus haben die Standardabweichung des Regressors und des Klassifikators denselben Wert, was auf eine insgesamt bessere Vorhersage durch den Regressor schließen lässt.

Wenn man den MAE von GBR (1,3 GPa) mit dem bestmöglichen Ergebnis (1,0 GPa) vergleicht, das in Tabelle 4 gezeigt wird, wird deutlich, dass der GBR den Wert der Härte effektiv vorhersagt, gefolgt von GBC (1,4 GPa) und KNN (2,3 GPa). ). Außerdem weisen GBR (1,9 GPa) und GBC (1,9 GPa) die niedrigste Standardabweichung aller in dieser Arbeit untersuchten ML-Techniken auf, gefolgt von KNN (2,9 GPa) und SVM (3,2 GPa). Die Standardabweichungen von GBR und GBC liegen nur 0,7 GPa über dem bestmöglichen Ergebnis (1,2 GPa), ein kleiner Wert im Vergleich zu den Ergebnissen anderer Methoden. Die letztgenannten Ergebnisse zeigen, dass GBR unter allen in dieser Arbeit bewerteten ML-Algorithmen die beste Leistung aufweist. Damit belegt GBC den zweiten Platz, gefolgt von KNN.

Im Fall von Diamant sagten die Klassifizierungsalgorithmen KNN, DT, LR, SVM, RF und GBC voraus, dass die beste Beziehung \(H_{5}\) (93,0 GPa) ist, während ADA in Richtung \(H_{2}\) tendierte. ) (89,3 GPa). Andererseits sagt der Regressor GBR direkt einen Wert von 95,9 GPa voraus.

Abbildung 2c zeigt die experimentellen und vorhergesagten Härtewerte unter Verwendung von GBR. Wie beobachtet, liegen die meisten Datenpunkte sehr nahe an der roten Linie, wodurch die Streuung der Daten minimiert wird. Das Bestimmtheitsmaß liegt in diesem Fall (\(R^2 = 0,99\)) sehr nahe bei 1,0, was darauf hindeutet, dass das statistische Modell die Härte erfolgreich vorhersagt. In Abb. 2c können wir beobachten, dass es GBR gelingt, einige Datenpunkte zu korrigieren, die weder von CLA noch von GBC korrekt vorhergesagt wurden. Angesichts dieser Beobachtungen empfehlen wir GBR als die zuverlässigste Methode zur Vorhersage der Härte unter all den verschiedenen in dieser Studie vorgeschlagenen Techniken.

Histogramm der mit dem Härterechner für die Datenbank des Materials Project geschätzten Härtewerte15.

Die Datenbank des Materials Project wurde nach Verbindungen mit dem berechneten elastischen Tensor durchsucht. Etwa 12.000 Materialien erfüllen die Kriterien. Die mechanischen Eigenschaften (B, G, Y, \(\nu\)) wurden für jeden von ihnen mit dem MechElastic-Paket16 berechnet. Die Materialien wurden anhand der theoretischen Daten des Materials Project weiter klassifiziert (nach Kristallsystem, Dichte und Bandlücke). Die Härte wurde mit dem Classic und dem Machine Learning Calculator geschätzt. Abbildung 3 zeigt das Histogramm der vorhergesagten Härtewerte für die Datenbank des Materials Project. Wie beobachtet, weisen die meisten Materialien (78,2 %) Härtewerte unter 10 GPa auf, und 18,2 % weisen Härtewerte zwischen 10 und 19 GPa auf. Harte Materialien mit Werten zwischen 20 und 39 GPa machen nur 3,5 % der Datenbank aus. Superharte Materialien, also solche, die eine Vickers-Härte über 40 GPa41 aufweisen, sind sehr selten; Nur 0,2 % der Materialien in der Datenbank sind Kandidaten für Superhart.

In Tabelle 9 sind einige der Materialien aufgeführt, die mithilfe des Härterechners als hart und superhart vorhergesagt wurden. Aus dieser Liste haben wir herausgefunden, dass für fünf Materialien experimentelle Härtemessungen vorliegen, zehn von anderen Autoren als hart vorhergesagt wurden und die restlichen sechzehn im Rahmen dieser Arbeit als hart vorhergesagt wurden.

Die Verbindungen BN, \({\text {Be}_2}\text {C}\), \({\text {Si}_3}{\text {N}_4}\), \({\text {VB }_2}\) und \({\text {HfB}_2}\) wurden zuvor synthetisiert und wurden zumindest mit einer der in Tabelle 9 dargestellten Methoden als superhart vorhergesagt. Auch wenn die experimentellen Werte im Allgemeinen so sind BN liegt leicht unter den Vorhersagen und ist experimentell superhart, und die übrigen Materialien sind hart, was die Güte der im Härterechner implementierten Methoden bestätigt.

In Übereinstimmung mit unseren Vorhersagen haben andere theoretische Studien vorgeschlagen, dass \({\text {C}_3}{\text {N}_4}\), \({\text {BC}_2}\text {N}\) und \({\text {CN}_2}\) sind ausgezeichnete Kandidaten für superharte Materialien. Basierend auf First-Principles-Berechnungen haben Teter et al. sagte eine kubische Form von \({\text {C}_3}{\text {N}_4}\) mit einem Kompressionsmodul bei Nulldruck voraus, das über dem von Diamant liegt. Die Autoren schlugen vor, dass diese Phase möglicherweise für die Verwendung als superhartes Material synthetisiert werden könnte31. Auch Hong Sun et al. untersuchte verschiedene kubische \({\text {BC}_2}\text {N}\)-Strukturen mit Ab-initio-Methoden32. Die Autoren gaben an, dass die beiden härtesten c-\({\text {BC}_2}\text {N}\)-Strukturen Volumen- und Schermoduli haben, die mit denen von c-BN vergleichbar oder etwas höher sind, was darauf hindeutet, dass diese Verbindungen superhart sind. Sie glauben auch, dass diese Strukturen dem von Knittle et al.42 synthetisierten c-\({\text {BC}_2}\text {N}\) ähneln. Die experimentelle Härte dieser Verbindung ist jedoch noch unbekannt. Schließlich haben Quan Li et al. sagte die körperzentrierte tetragonale Struktur von \(\text {CN}_2\) aus ersten Prinzipien voraus33. Die Autoren simulierten für diese Verbindung eine Härte von 77 GPa, was darauf hindeutet, dass sie hervorragende inkompressible und superharte Eigenschaften aufweist. In ähnlicher Weise haben andere Autoren vorgeschlagen, dass \({\text {BeCN}_2}\), \({\text {B}_2}\text {CN}\), \({\text {ReN}_2}\) , \({\text {TcOs}_3}\), CrC, \({\text {TcB}_2}\) und ReC sind gute Kandidaten für harte Materialien. Alle diese Beobachtungen legen nahe, dass die im Härterechner implementierten Methoden mit den Ergebnissen früherer Studien übereinstimmen.

Unseres Wissens nach wurden die verbleibenden sechzehn Materialien, die in dieser Arbeit als hart vorgeschlagen wurden, noch nicht auf ihre Härte untersucht. Wir hoffen, dass diese Arbeit die experimentelle Untersuchung dieser Verbindungen motiviert.

Der Härterechner ist eine eigenständige Online-Anwendung zur einfachen Analyse der Härte (verfügbar unter https://www.hardnesscalculator.com). Es handelt sich um eine benutzerfreundliche Schnittstelle, die mechanische Eigenschaften als Eingabe zur Berechnung der Härte eines Materials benötigt. Das Programm zeigt die vom Machine Learning Calculator berechneten Härtewerte (\(H_{GBC}\) und \(H_{GBR}\)) sowie alle anderen Härtewerte an, die durch die sechs verschiedenen in Abschnitt 1.1 beschriebenen Beziehungen geschätzt werden. 2.1 (\(H_{1a}\), \(H_{1b}\), \(H_{2}\), \(H_{3}\), \(H_{4}\) und \( H_{5}\)). Wenn der Benutzer das Kristallsystem, die Dichte und/oder die Bandlücke angibt, zeigt das Programm auch die bevorzugte Beziehung zur Schätzung der Härte gemäß dem klassischen Rechner an.

In dieser Studie haben wir verschiedene Methoden zur Berechnung der Härte unter Verwendung der mechanischen Eigenschaften eines Festkörpers (Volumenmodul, Schermodul, Elastizitätsmodul und Poissonzahl) als Eingabevariablen diskutiert. Wir haben uns dem Problem der Härteschätzung aus zwei unterschiedlichen Perspektiven genähert.

Im ersten Ansatz untersuchten wir die Korrelation zwischen verschiedenen Härtebeziehungen (\(H_{1a}\), \(H_{1b}\), \(H_{2}\), \(H_{3}\), \(H_{4}\) und \(H_{5}\)) und einige physikalische Eigenschaften von Festkörpern, wie z. B. Kristallsystem, Bandlücke und Dichte. Aus diesem ersten Teil haben wir den klassischen Rechner entwickelt, ein Auswahlmodell, das auf den einfachen Eigenschaften eines Festkörpers basiert. Die besten Ergebnisse wurden bei gleichzeitiger Berücksichtigung zweier Eigenschaften erzielt: Kristallsystem + Bandlücke, Kristallsystem + Dichte oder Bandlücke + Dichte. Die MAE (Standardabweichung) bei der Härteberechnung für jede dieser Methoden beträgt 2,3 GPa (2,7 GPa), 2,2 GPa (2,2 GPa) bzw. 2,5 GPa (2,9 GPa). Auch wenn die Kombination aus Kristallsystem + Dichte die bessere Leistung unter den drei Ansätzen aufweist, gibt es keinen signifikanten statistischen Unterschied zwischen diesen Methoden; Jede davon kann verwendet werden, um abhängig von den verfügbaren Informationen die richtige Beziehung zur Berechnung der Härte auszuwählen.

Der zweite Ansatz basiert auf maschinellem Lernen und wird als „Rechner für maschinelles Lernen“ bezeichnet. Wir haben zwei Modelle zur Berechnung der Härte mithilfe von ML vorgeschlagen: einen Klassifikator (GBC) und einen Regressor (GBR). Der Klassifikator zielt auf die beste Beziehung zur Berechnung der Kristallhärte ab, indem er die mechanischen Eigenschaften eines Festkörpers als Eingangsvariablen verwendet. Andererseits sagt der Regressor den Härtewert direkt voraus, indem er dieselben Eingabevariablen wie der Klassifikator verwendet. GBC und GBR weisen einen MAE (Standardabweichung) von 1,4 GPa (1,9 GPa) bzw. 1,3 GPa (1,9 GPa) auf. GBR weist unter allen in dieser Arbeit untersuchten Techniken die beste Leistung auf.

Der Härterechner, bestehend aus klassischen und ML-Schemata, wurde zur Suche nach harten und superharten Materialien in der Datenbank des Materials Project verwendet. Diese Untersuchung hat gezeigt, dass der Härterechner eine große Vorhersagekraft aufweist, da unsere Ergebnisse mit anderen experimentellen oder theoretischen Studien übereinstimmen. Infolgedessen wurden in dieser Arbeit 16 Materialien als neue Hard- oder Super-Hard-Kandidaten vorgeschlagen.

Der Härterechner ist als kostenlose Online-Anwendung verfügbar, mit der Benutzer zwischen den verschiedenen Ergebnissen unter https://www.hardnesscalculator.com unterscheiden können.

Die Autoren erklären, dass alle Daten, die die Ergebnisse dieser Studie stützen, in der Arbeit und/oder den ergänzenden Informationsdateien enthalten sind.

Die Codes zum Vergleich der Leistung der verschiedenen maschinellen Lernalgorithmen sowie die Klassifizierungen nach Kristallsystem, Bandlücke und Dichte sind unter https://github.com/vdovale29/Hardness-Calculator verfügbar. Der Code zur Durchführung der Berechnungen für den Härterechner ist unter https://github.com/vdovale29/Hardness-Calculator verfügbar.

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Die Arbeit wurde durch den Zuschuss DE-SC0021375 unterstützt, der vom US Department of Energy (DOE), Office of Science, finanziert wurde. Wir danken auch für die von XSEDE bereitgestellten Rechenressourcen, einem von der National Science Foundation (NSF) unterstützten Projekt (ACI-1053575). Die Autoren bedanken sich auch für die Unterstützung des Texas Advances Computer Center (mit den Supercomputern Stampede2 und Bridges). Wir danken auch dem Super Computing System (Thorny Flat) an der WVU, das teilweise durch den Major Research Instrumentation Program (MRI) Award (MRI-1726534) der National Science Foundation (NSF) und der West Virginia University finanziert wird. Die Abbildungen in diesem Artikel wurden mit dem Python-Paket Matplotlib43 generiert. Wir haben auch die Python-Pakete Numpy44, SciPy45 und Pandas46,47 für die Vor- und Nachbearbeitung der Ergebnisse verwendet. Für die maschinellen Lernberechnungen haben wir scikit-learn48 verwendet. I-Python49 und Jupyter Notebook50 (interaktive Computertools) waren für dieses Projekt von Bedeutung.

Fachbereich Physik, West Virginia University, Morgantown, WV, 26506, USA

Viviana Dovale-Farelo, Pedram Tavadze, Logan Lang und Aldo H. Romero

Fakultät für Ingenieurwissenschaften, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, ING2-Gebäude, Ciudad Universitaria, 72570, Puebla, Mexiko

Alejandro Bautista-Hernandez und Aldo H. Romero

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Idee und Methodik von VDF. Ein Teil der experimentellen Daten wurde von LLPT bereitgestellt, die Datenvorverarbeitung durchgeführt und Zahlen generiert. Die Datenanalyse wurde von VDFABH durchgeführt, das Manuskript überprüft und bearbeitet. AHR überwachte die Untersuchung und leistete einen Beitrag zur Ressourcen- und Finanzierungsbeschaffung. Die Website wurde von PT entwickelt. Der Artikel wurde von VDF unter Mitwirkung aller Autoren verfasst.

Korrespondenz mit Viviana Dovale-Farelo.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Dovale-Farelo, V., Tavadze, P., Lang, L. et al. Vorhersage der Vickers-Härte mithilfe maschineller Lernmethoden. Sci Rep 12, 22475 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-26729-3

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Eingegangen: 22. August 2022

Angenommen: 19. Dezember 2022

Veröffentlicht: 28. Dezember 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-26729-3

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