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Jul 17, 2023

Photonisches Helikoid

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 13934 (2023) Diesen Artikel zitieren 89 Zugriffe auf Metrikdetails Wir untersuchen die photonischen topologischen Phasen in chiralen Metamaterialien, die durch gekennzeichnet sind

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 13934 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Details zu den Metriken

Wir untersuchen die photonischen topologischen Phasen in chiralen Metamaterialien, die durch magnetoelektrische Tensoren mit diagonalen Chiralitätskomponenten gekennzeichnet sind. Das zugrunde liegende Medium gilt als photonisches Analogon des topologischen Halbmetalls mit einem Weyl-Kegel und einer zylindrischen Oberfläche im Frequenzwellenvektorraum. Wenn die „Spin“-degenerierte Bedingung erfüllt ist, kann das photonische System in zwei Hybridmodi umgewandelt werden, die vollständig entkoppelt sind. Durch die Einführung der Pseudospin-Zustände als Grundlage für die Hybridmoden wird das photonische System durch zwei Subsysteme in Form von Spin-Bahn-Hamiltonianern von Spin 1 beschrieben, die zu Spin-Chern-Zahlen ungleich Null führen, die die topologischen Eigenschaften bestimmen. Oberflächenmoden an der Grenzfläche zwischen Vakuum und chiralem Metamaterial existieren in ihrer gemeinsamen Lücke im Wellenvektorraum, die durch algebraische Gleichungen analytisch formuliert werden. Insbesondere bilden die Oberflächenmoden ein Paar spiralförmiger Oberflächenschichten, die sich um den Weyl-Kegel wickeln und den helikoiden Oberflächenzuständen ähneln, die in topologischen Halbmetallen auftreten. Bei der Weyl-Frequenz enthalten die Oberflächenmoden zwei Fermi-Bogen-ähnliche Zustände, die sich zu einem geraden Liniensegment verketten.

Topologische Phasen sind neue Phasen der Materie, die durch ganzzahlige Größen gekennzeichnet sind, die als topologische Invarianten bekannt sind und bei willkürlichen kontinuierlichen Verformungen des Systems konstant bleiben. Der Quanten-Hall-Zustand (QH)1 ist das allererste Beispiel einer zweidimensionalen (2D) topologischen Phase und gehört zu der Klasse mit gebrochener Zeitumkehrsymmetrie (TR), da ein statisches Magnetfeld vorhanden ist. Der Quantenspin-Hall-Zustand (QSH)2,3,4 ist eine andere topologische 2D-Phase ohne das Magnetfeld und bewahrt die TR-Symmetrie, wobei die Spin-Bahn-Kopplung für die topologischen Eigenschaften verantwortlich ist. Topologische Eigenschaften der QH-Zustände werden durch TKNN-Invarianten oder Chern-Zahlen5 charakterisiert, während die der QSH-Zustände durch \(Z_2\)-Invarianten2 oder Spin-Chern-Zahlen6 charakterisiert werden. In den QSH-Zuständen entwickelte theoretische Konzepte werden auf drei Dimensionen (3D) verallgemeinert, was zur allgemeineren Klasse der topologischen 3D-Isolatoren7,8 führt.

Ein bemerkenswertes Merkmal des QSH-Zustands ist die Entstehung lückenloser Randzustände innerhalb der Bandlücke. Die Ausbreitungsrichtung der Randzustände wird durch den Spin festgelegt9, was topologisch geschützte Randzustände ermöglicht, die sich ohne Rückstreuung unidirektional ausbreiten10. Da die Randzustände durch die Massentopologie geschützt sind, sind sie unempfindlich gegenüber kleinen Störungen, die die Topologie nicht verändern. Ähnlich wie bei topologischen 2D-Phasen erscheinen lückenlose Oberflächenzustände innerhalb der Bandlücke zwischen zwei topologisch unterschiedlichen Bändern in topologischen 3D-Isolatoren11,12, die sowohl in TR-gebrochenen13,14 als auch in TR-invarianten Systemen15,16,17 realisiert werden können. Im Gegensatz zu topologischen 3D-Isolatoren, bei denen es sich um topologische Phasen mit Lücken handelt, handelt es sich bei 3D-topologischen Phasen ohne Lücken um einen neuen Phasentyp, der als topologische Halbmetalle bekannt ist18,19,20,21,22.

Ein Großteil der topologischen Halbmetalle ist durch Weyl-Entartungen gekennzeichnet, bei denen es sich um Entartungen zwischen topologisch unäquivalenten Bändern handelt. Das Hauptmerkmal 3D-lückenloser topologischer Phasen ist das Auftreten von Weyl-Punkten in Systemen, denen TR-Symmetrie, Inversionssymmetrie oder beides fehlt. Unter den Weyl-Punkten versteht man die Monopole der Berry-Krümmung im Impulsraum, die quantisierte topologische Ladungen tragen, die gleich den topologischen Invarianten des Systems sind. Eine nützliche Perspektive auf die Weyl-Halbmetalle besteht darin, sie als Übergangszustand zwischen einem topologischen Isolator und einem trivialen Isolator zu betrachten22. Ein wichtiges Merkmal der Weyl-Punkte ist die Existenz von Fermi-Bögen, die die Weyl-Punkte verbinden und den topologisch geschützten Oberflächenzuständen entsprechen, die robust gegenüber Störungen sind. Insbesondere können Oberflächenzustände eine spiralförmige Oberflächenschicht bilden, die die oberen und unteren Volumenkegel verbindet, die durch nicht-symmetrische Symmetrien vor Lücken geschützt sind und als helikoide Oberflächenzustände bezeichnet werden23.

Die neuartigen Konzepte topologischer Phasen wurden auf photonische Systeme24,25,26 ausgeweitet, was zur Entdeckung photonischer QH-Zustände27,28,29,30,31, photonischer QSH-Zustände32,33,34,35,36 und photonischer topologischer Isolatoren37 führte. 38,39 und photonische topologische Halbmetalle40,41,42,43,44,45,46,47. Der Schlüsselaspekt zum Aufbau einer topologischen Phase besteht darin, ein Kramers-Paar im System zu haben, bei dem es sich um doppelt entartete Eigenzustände unter TR-Symmetrie handelt48. Das Kramers-Theorem gilt jedoch normalerweise für ein TR-invariantes System mit Spin 1/210 und kann nicht ohne weiteres auf das photonische System mit Spin 149,50 angewendet werden, es sei denn, es wurde zusätzliche Symmetrie eingeführt. Dennoch haben Photonen aufgrund der Zirkularpolarisation Spineigenschaften51. Eine spinähnliche Größe namens Pseudospin kann durch die lineare Kombination elektrischer und magnetischer Felder gebildet werden, wenn eine bestimmte Entartungsbedingung zwischen den elektrischen und magnetischen Parametern erfüllt ist32. Dadurch kann das photonische System durch einen effektiven Hamilton-Operator beschrieben werden, der aus zwei Subsystemen für die Pseudospin-Zustände32,33,34 besteht, und das Kramers-Paar kann im photonischen System gebildet werden. Bei Vorhandensein von Chiralität oder Bianisotropie, die die Spin-Bahn-Kopplung emuliert, kann im photonischen System eine topologische Phase aufgebaut werden52,53,54,55,56.

In der vorliegenden Studie untersuchen wir die photonischen topologischen Phasen in chiralen Metamaterialien, die durch magnetoelektrische Tensoren mit diagonalen Chiralitätskomponenten gekennzeichnet sind. Massenmoden des zugrunde liegenden Mediums werden durch zwei entkoppelte quadratische Gleichungen dargestellt, wenn eine bestimmte Symmetrie der Materialparameter berücksichtigt wird. Da die „Spin“-Entartungsbedingung32,34,38 erfüllt ist, werden die Massenmoden mit einem Weyl-Kegel und einer zylindrischen Oberfläche im Frequenzwellenvektorraum dargestellt. Die elektromagnetische Dualität ermöglicht die Entkopplung der Maxwell-Gleichungen in zwei Subsysteme für die Hybridmoden, die als lineare Kombinationen elektrischer und magnetischer Felder definiert sind. Durch die Einführung der Pseudospin-Zustände als Grundlage für die Hybridmoden kann das photonische System durch ein Paar Spin-Bahn-Hamiltonoperatoren mit Spin 153,54,55,56,57,58,59 beschrieben werden, die den fermionischen Pseudo-TR respektieren Symmetrie. Die topologischen Eigenschaften des photonischen Systems werden durch Spin-Chern-Zahlen ungleich Null bestimmt, die aus den Eigenfeldern der Hamilton-Operatoren berechnet werden. Oberflächenmoden an der Grenzfläche zwischen Vakuum und chiralem Metamaterial existieren in ihrer gemeinsamen Lücke im Wellenvektorraum, die durch algebraische Gleichungen analytisch formuliert werden. Insbesondere werden die Oberflächenmoden durch ein Paar spiralförmiger Oberflächenschichten dargestellt, die sich um den Weyl-Kegel winden und den helikoidartigen Oberflächenzuständen ähneln, die in den topologischen Halbmetallen auftreten23. Bei der Weyl-Frequenz enthalten die Oberflächenmoden zwei Fermi-Bogen-ähnliche Zustände, die sich zu einem geraden Liniensegment verketten.

Betrachten Sie ein allgemeines bianisotropes Medium, das durch die folgenden konstitutiven Beziehungen gekennzeichnet ist:

wobei \(\underline{\varepsilon }\), \(\underline{\mu }\), \(\underline{\xi }\) und \(\underline{\zeta }\) die frequenzabhängigen Relativen sind Permittivität, Permeabilität bzw. magnetoelektrische Tensoren. Behandlung des kombinierten elektrischen Feldes \(\textbf{E}=\left( E_x,E_y,E_z\right) ^T\) und des magnetischen Feldes \(\textbf{H}=\left( H_x,H_y,H_z\right) ^T\) als sechskomponentiger Vektor, wobei T die Transponierte bezeichnet, werden die Maxwellschen Gleichungen für die zeitharmonischen elektromagnetischen Felder (mit der Zeitkonvention \({e^{-i\omega t} }\)) geschrieben Matrixform als

wobei \(\underline{I}\) die 3 \(\times \) 3 Identitätsmatrix ist und \(\textbf{H}'=\eta _0\textbf{H}\), mit \({\eta _0 } = \sqrt{{\mu _0}/{\varepsilon _0}}\). Das Medium sei verlustfrei (\(\underline{\varepsilon }=\underline{\varepsilon }^\dagger \), \(\underline{\mu }=\underline{\mu }^\dagger \) und \ (\underline{\xi }=\underline{\zeta }^\dagger \), wobei \(\dagger \) das hermitesche Konjugat bezeichnet) und reziprok (\(\underline{\varepsilon }=\underline{\varepsilon } ^T\), \(\underline{\mu }=\underline{\mu }^T\) und \(\underline{\xi }=-\underline{\zeta }^T\), wobei T bezeichnet die Transponierte)60, was impliziert, dass \(\underline{\varepsilon }=\underline{\varepsilon }^*\), \(\underline{\mu }=\underline{\mu }^*\), \( \underline{\xi }=-\underline{\xi }^*\) und \(\underline{\zeta }=-\underline{\zeta }^*\), wobei \(*\) den Komplex bezeichnet konjugieren. In der vorliegenden Studie gehen wir weiterhin davon aus, dass die Permittivität, Permeabilität und magnetoelektrischen Tensoren einachsig sind: \(\underline{\varepsilon }=\mathrm{{diag}}\left( {{\varepsilon _t},{\varepsilon _t },{\varepsilon _z}}\right) \), \(\underline{\mu }=\mathrm{{diag}}\left( {{\mu _t},{\mu _t},{\mu _z }}\right) \), und \(\underline{\xi }=- {\underline{\zeta }}=\mathrm{{diag}}\left( {i{\gamma _t},i{\gamma _t},i{\gamma _z}}\right) \), wobei \(\varepsilon _n\), \(\mu _n\) und \(\gamma _n\) \((n=t,z) \) sind reelle Größen, und \(\textrm{diag}\left( \varvec{\cdot },\varvec{\cdot },\varvec{\cdot }\right) \) bezeichnet ein 3 \(\ mal \) 3 Diagonalmatrix. Das Medium mit den rein imaginären magnetoelektrischen Tensoren wird als chirales Medium bezeichnet. Hier erscheint der Chiralitätsparameter \(\gamma _n\) (\(n=t,z\)) in den Diagonalelementen der magnetoelektrischen Tensoren \(\underline{\xi }\) und \(\underline{\zeta }\), was bedeutet, dass die magnetoelektrischen Kopplungen des chiralen Mediums in parallelen Richtungen erfolgen. Das zugrunde liegende Medium kann durch metallische Helices synthetisiert werden, die entlang dreier senkrechter Richtungen ausgerichtet sind61. Im chiralen Medium wird die Inversionssymmetrie aufgrund der Chiralität gebrochen44,62, wohingegen die TR-Symmetrie erhalten bleibt24.

Die Existenz einer nichttrivialen Lösung von \(\textbf{E}\) und \(\textbf{H}\) erfordert, dass die Determinante der 6 \(\times \) 6-Matrix in Gl. (3) Null sein, was zur charakteristischen Gleichung der Massenmoden as führt

wobei \({k_0} = \omega /c\). Dabei handelt es sich um eine biquadratische Gleichung, die die Kopplung zwischen transversalen elektrischen und transversalen magnetischen Moden berücksichtigt. Wenn \(\eta _t=\eta _z\), also \(\sqrt{\mu _t/\varepsilon _t}=\sqrt{\mu _z/\varepsilon _z}\), Gl. (4) kann als Produkt zweier quadratischer Gleichungen entkoppelt werden

wobei \(k_t^2 = k_x^2 + k_y^2\), \(n_t^ \pm = \sqrt{{\varepsilon _t}{\mu _t}} \pm |{\gamma _t}|\), und \(n_z^ \pm = \sqrt{{\varepsilon_z}{\mu_z}} \pm |{\gamma_z}|\). Im isotropen Fall, wobei \(\varepsilon _t=\varepsilon _z\equiv \varepsilon \), \(\mu _t=\mu _z\equiv \mu \) und \(\gamma _t=\gamma _z\equiv \gamma \), Gl. (5) kann vereinfacht werden zu

wobei \({n_ \pm } = \sqrt{\varepsilon \mu } \pm |\gamma |\). Es gibt eine kritische Bedingung: \(|\gamma |=\sqrt{\varepsilon \mu }\), wobei \(n_-=0\) und der entsprechende Massenmodus auf einen Punkt reduziert werden. Im Fall \(\gamma =0\), Gl. (6) wird weiter vereinfacht zu

Beachten Sie, dass sich die Eigenschaften von Massenmodi je nach Wahl des Frequenzbereichs mit der Frequenz eines dispersiven Mediums (normalerweise bei Metamaterialien) ändern können. In der Umgebung einer Referenzfrequenz \(\omega _\text {ref}\) kann \({\varepsilon _n}\) (\(n=t,z\)) angenähert werden als \({\varepsilon _n } \ approx {\varepsilon _{n0}} + {\left. {\frac{{d{\varepsilon _n}}}{{d\omega }}} \right| _{\omega = {\omega _\ text {ref}}}}\left( {\omega - {\omega _\text {ref}}} \right) \equiv {\varepsilon _{n0}} + {\tilde{\varepsilon }_n}\delta \omega /{\omega _\text {ref}}\), wobei \({\tilde{\varepsilon }}_n\) positiv definit ist57. Eine ähnliche Beziehung gilt für \(\mu _n\) (\(n=t,z\)). Wir gehen weiterhin davon aus, dass der Chiralitätsparameter \(\gamma \) sich gleichmäßig um \(\omega _{\textrm{ref}}\) ändert und in der Analyse als Konstante behandelt werden kann32,53,58.

Spin-Bahn-Hamiltonoperatoren Die elektromagnetische Dualität der Maxwell-Gleichungen schreibt vor, dass die Matrix in Gl. (3) enthält ein symmetrisches Muster, wenn die „Spin“-entartete Bedingung \(\underline{\varepsilon }=\underline{\mu }\)32,34,38 erfüllt ist. Dies ermöglicht es uns, Gleichung umzuschreiben. (3) als

wobei \({{\mathscr{H}_0^\pm }} = \mp {\omega }\underline{\varepsilon } + i \left( {c\textbf{k}} \times \underline{I}+ \omega \underline{\xi }\right) \) und \(\textbf{F}^\pm ={\mathbf{{E}} \pm i \mathbf{{H'}}}\) sind der Hybrid Moden, die die elektrischen und magnetischen Felder linear kombinieren. Beachten Sie, dass \(\textbf{F}^+\) und \(\textbf{F}^-\) vollständig entkoppelt sind und durch zwei Subsysteme (\(3\times 3\)-Matrizen) mit ähnlicher Form bestimmt werden. Durch die Einführung der Pseudospinzustände \({\psi _ \pm } = {U^{ - 1}}{\tilde{\psi }_ \pm }\) als Basis für die Hybridmoden, wobei \( \tilde{ \psi _ \pm } = {\left( - {\frac{{ {F_x^\pm } \mp i{F_y^\pm }}}{{\sqrt{2} }},{F_z},\frac {{{F_x^\pm } \pm i{F_y^\pm }}}{{\sqrt{2} }}} \right) ^T}\) und \(U = \mathrm{{diag}}\ left( {\sqrt{{{\tilde{\varepsilon }}_z}/{{\tilde{\varepsilon }}_t}} ,1,\sqrt{{{\tilde{\varepsilon }}_z}/{{ \tilde{\varepsilon }}_t}} } \right) \), Gl. (8) kann als Paar von Eigensystemen formuliert werden, wenn die Frequenzdispersion des Mediums in der Nähe der Referenzfrequenz \(\omega _\text {ref}\) berücksichtigt wird. Im isotropen Fall gilt \({\varepsilon _{t0}} = {\varepsilon _{z0}} \equiv \varepsilon \) und \({\tilde{\varepsilon }_t} = {\tilde{\varepsilon }_z} \equiv \tilde{\varepsilon }\), die Eigensysteme für Gl. (8) sind gegeben durch (siehe Methoden A)

Wo

und \(\mathscr{D}_\pm = \pm {\omega _{\textrm{ref}}} \left( {\varepsilon \pm \gamma /\tilde{\varepsilon }}\right) \). Hier ist \(v=c/{{\tilde{\varepsilon }}}\), \(\mathbf{{k}}=k_x\hat{x}+k_y\hat{y}+k_z\hat{z }\), \(\mathbf{{S}} = {S_x}\hat{x} + {S_y}\hat{y} + {S_z}\hat{z}\), mit \(S_n\) ( \(n=x,y,z\)) sind die Spinmatrizen von Spin 1. Beachten Sie, dass Gl. (9) wird als Eigensystem ausgedrückt, wobei \(\pm \delta \omega \) der Eigenwert ist. Der Hamiltonoperator \(\mathscr{H}_\pm \) in Gl. (10) stellt die Spin-Bahn-Kopplung \(\mathbf{{k}}\cdot \mathbf{{S}}\) von Spin 1 dar, die mathematisch äquivalent zum Hamilton-Operator eines magnetischen Dipolmoments im Magnetfeld ist57.

Topologische Invarianten Die topologischen Eigenschaften der Spin-Bahn-Hamiltonoperatoren \(\mathscr{H}_\pm \) können durch die topologischen Invarianten basierend auf den Eigenfeldern charakterisiert werden. Zu diesem Zweck berechnen wir den Berry-Fluss über einer geschlossenen Fläche im Wellenvektorraum. Das Eigensystem für den Hamiltonoperator \(\mathscr{H}_\pm \) in Gl. (10):

wird gelöst, um die Eigenwerte \(\lambda _ \pm ^\sigma \) und Eigenvektoren \(\psi _ \pm ^\sigma \) (\(\sigma =\pm 1, 0\)) zu erhalten. Hier steht der Eigenwert \(\lambda _ \pm ^\sigma \) in Beziehung zu \(\delta \omega \) in Gl. (9) als \(\lambda _ \pm ^\sigma = \mathscr{D}_\pm \pm \delta \omega \). Basierend auf Gl. (11) werden die Chern-Zahlen berechnet zu (siehe Methoden B)

Das von Null verschiedene \(C_\sigma \) (\(\sigma =\pm 1\)) charakterisiert die topologischen Eigenschaften des Systems, wobei sich \(\sigma \) auf die Helizität (oder Händigkeit) der Pseudospinzustände bezieht. Insbesondere die Rand- oder Oberflächenzustände an der Grenzfläche zwischen zwei unterschiedlichen topologischen Phasen sind topologisch geschützt, was bedeutet, dass ihre Existenz durch den Unterschied in der Bandtopologie auf zwei Seiten der Grenzfläche garantiert ist. In diesem System sind die Gesamt-Chern-Zahl \(C=\sum \limits _\sigma {{C_\sigma }}=0\) und die Spin-Chern-Zahl \(C_{\textrm{spin}}=\sum \limits _\sigma {{\sigma C_\sigma }}=4\), die mit dem Quantenspin-Hall-Effekt von Licht51 übereinstimmen. Die topologischen Invarianten bleiben bei beliebigen kontinuierlichen Verformungen des Systems konstant. Die topologischen Eigenschaften im isotropen Fall bleiben erhalten, wenn eine bestimmte Anisotropie in das System einbezogen wird. Für einen allgemeineren anisotropen Fall kann die genaue Berechnung topologischer Invarianten durch numerische Integration der Berry-Krümmungen63 erhalten werden.

Der Hamilton-Operator für Maxwell-Gleichungen [vgl. Gl. (3)] ​​im chiralen Medium, das verlustfrei und reziprok ist, ist TR-invariant unter \(T_b\), d. h.

Wo

\({T_b} = {\sigma _z}K\) (mit \(T_b^2=1\)) ist der bosonische TR-Operator für Photonen24, wobei K die komplexe Konjugation ist und \(\otimes \) die bezeichnet Tensorprodukt. Der Hamiltonoperator \(\mathscr{H}_m\) ist jedoch nicht TR-invariant unter \(T_f\), d. h. \(\left( {T_f \otimes I}\right) {\mathscr{H}_m \left( \textbf{k} \right) }\left( {T_f \otimes I}\right) ^{ - 1} \ne {\mathscr{H}_m\left( -\textbf{k} \right) }\), wobei \({T_f} = {i\sigma _y}K\) (mit \(T_f^2=-1\)) der fermionische TR-Operator für Elektronen ist24. Dennoch ist der aus zwei Spin-Bahn-Hamiltonoperatoren gebildete kombinierte Hamiltonoperator \(\mathscr H_\pm \) [vgl. Gl. (10)] ist TR-invariant unter \(T_p\), d. h.

Wo

und \({T_p}\) ist der fermionische Pseudo-TR-Operator mit der gleichen Form von \(T_f\). Der Pseudo-TR-Operator \(T_p\) ist inspiriert durch die Beobachtung, dass \(\mathbf{{E}} \leftrightarrow \mathbf{{H}}\) während der TR-Operation, die definiert ist als \({T_p} = { T_b}{\sigma _x} = {\sigma _z}K{\sigma _x} = i{\sigma _y}K\) mit \(T_p^2=-1\)34. Hier gilt \(\sigma _x=\left( 0,1;1,0\right) \), \(\sigma _y=\left( 0,-i;i,0\right) \) und \( \sigma _z=\textrm{diag}\left( 1,-1\right) \) sind die Pauli-Matrizen. Die Pseudo-TR-Symmetrie des kombinierten Hamilton-Operators \(\mathscr{H}_c\) ist entscheidend für die Konstruktion des Kramers-Paares und die Bestimmung der topologischen Phasen in photonischen Systemen von Spin 1, was die Existenz spinpolarisierter, gegenläufiger helikaler Randzustände ermöglicht in elektronischen Systemen.

Der topologische Phasenübergang erfolgt zwischen zwei unterschiedlichen topologischen Phasen. In der vorliegenden Studie manifestiert sich der topologische Phasenübergang in der Existenz von Oberflächenmoden an der Grenzfläche zwischen Vakuum und dem chiralen Metamaterial. Hier beginnen wir mit der linearen Kombination von Eigenfeldern basierend auf den Maxwell-Gleichungen und belassen die Gewichtungskoeffizienten als unbekannte Variablen. Durch Anwenden der Randbedingung an der Grenzfläche kann eine Bedingung erreicht werden, indem gefordert wird, dass diese Koeffizienten nicht trivial sind, was zur charakteristischen Gleichung der Oberflächenmoden führt.

Die xz-Ebene sei eine Grenzfläche zwischen Vakuum (\(y>0\)) und dem chiralen Medium (\(y<0\)), gekennzeichnet durch \(\varepsilon _n=\varepsilon \), \(\mu _n= \mu \), und \(\gamma _n=\gamma \) (\(n=t,z\)), wobei die Oberflächenmoden existieren können. Gemäß Maxwells Randbedingungen: der Kontinuität der tangentialen elektrischen und magnetischen Feldkomponenten an der Grenzfläche kann die charakteristische Gleichung der Oberflächenmoden analytisch formuliert werden, indem die Eigenfelder der Massenmoden auf zwei Seiten der Grenzfläche verwendet werden, gegeben durch (siehe Methoden C)

wobei \({n _ \pm } = \sqrt{\varepsilon \mu } \pm \gamma \), \(k_y^{(0)} = \sqrt{k_0^2 - k_x^2 - k_z^2} \) ist die normale Wellenvektorkomponente (zur Grenzfläche) im Vakuum, \(k_y^{(1)} = - \sqrt{n _ + ^2k_0^2 - k_x^2 - k_z^2}\) und \ (k_y^{(2)} = - \sqrt{n _ - ^2k_0^2 - k_x^2 - k_z^2}\) sind die normalen Wellenvektorkomponenten im chiralen Medium und die hochgestellten Zeichen (1) und ( 2) beziehen sich auf zwei unabhängige Polarisationen.

Äquifrequenzflächen der Volumenmoden im Wellenvektorraum für das chirale Metamaterial mit (a) \(\varepsilon _t=\mu _t=1.2\), \(\varepsilon _z=\mu _z=1\), \(\ gamma _t=\pm 0,8\), und \(\gamma _z=\pm 0,2\) (b) \(\varepsilon _t=\mu _t=0,8\), \(\varepsilon _z=\mu _z=0,2\ ), \(\gamma _t=\pm 1.2\) und \(\gamma _z=\pm 1\). In (a) sind schwarze Konturen Massenmodi bei \(k_y=0\). In (b) werden Massenmodi für den Halbraum mit \(k_y>0\) gezeigt.

Abbildung 1a zeigt die Äquifrequenzoberflächen der Volumenmoden für das chirale Metamaterial im Wellenvektorraum basierend auf Gl. (5). In der vorliegenden Studie gehen wir davon aus, dass \(n_t^\pm n_z^\pm >0\), so dass die Volumenmoden durch zwei elliptische Gleichungen beschrieben werden [vgl. Gl. (5)]. Diese Bedingung ist entscheidend für die Bildung des photonischen Weyl-Systems im chiralen Metamaterial, was später diskutiert wird (vgl. Ergebnisse: Photonisches Weyl-System). Infolgedessen werden die Massenmoden durch zwei konzentrische Ellipsoide im Wellenvektorraum dargestellt. Beachten Sie, dass die Volumenmoden für das entgegengesetzte Vorzeichen des Chiralitätsparameters aufgrund der Symmetrie um \(\gamma \) identisch sind [vgl. Gl. (5)]. Hier sind die Materialparameter so angeordnet, dass \(n_t^+n_z^+>1\), \(\left( n_t^+\right) ^2>1\) und \(n_t^-n_z^-<1\). \), \(\left( n_t^-\right) ^2<1\). Die Massenmoden liegen daher entweder vollständig innerhalb oder vollständig außerhalb des Vakuumdispersionssphäroids: \(k_x^2+k_y^2+k_z^2=k_0^2\), wie in Abb. 1(b) für die Massenmoden gezeigt der Halbraum (\(k_y>0\)). Beachten Sie auch, dass die Massenmodi in Abb. 1a, b durch dieselben Ellipsoide dargestellt werden, obwohl \(n_s^->0\) (\(s=t,z\)) für erstere und \(n_s^-< 0\) für Letzteres. Die Wellenausbreitung in beiden Fällen unterscheidet sich jedoch hinsichtlich der negativen Brechung und der Rückwärtswelle64,65. Im isotropen Fall wird die innere Massenmode bei der kritischen Bedingung: \(|\gamma |=\sqrt{\varepsilon \mu }\) (vgl. Ergebnisse: Massenmoden.) auf einen Punkt im Ursprung reduziert.

Denken Sie daran, dass der effektive Hamilton-Operator im vorliegenden Problem aus zwei Subsystemen der Hybridmoden besteht. Jedes Subsystem wird durch den Spin-Bahn-Hamiltonianer mit Spin 1 beschrieben (vgl. Ergebnisse: Spin-Bahn-Hamiltonianer.) und durch topologische Invarianten ungleich Null charakterisiert (vgl. Ergebnisse: Topologische Invarianten). In dieser Hinsicht wird das chirale Metamaterial als photonisches Analogon der topologischen Phase betrachtet.

Oberflächenmoden an der Grenzfläche zwischen zwei chiralen Metamaterialien mit entgegengesetztem Vorzeichen des Chiralitätsparameters und (a) \(\varepsilon _n=\mu _n=1\) und \(\gamma =\pm 0.5\) (b) \(\ varepsilon _n=\mu _n=0,5\) und \(\gamma =\pm 1\) (\(n=t,z\)).

Abbildung 2 zeigt die Oberflächenmoden an der Grenzfläche zwischen Vakuum (\(y>0\)) und dem chiralen Metamaterial (\(y<0\)) in der \(k_x\)–\(k_z\)-Ebene basierend auf Gl . (17). Die Massenmodi bei \(k_y=0\) werden in denselben Diagrammen überlagert. Der Klarheit halber diskutieren wir die Oberflächenmoden im isotropen Fall, wobei \(\varepsilon _n=\varepsilon \) und \(\mu _n=\mu \) (\(n=t,z\)) und die analytische Formulierungen für die Oberflächenmoden sind verfügbar. Insbesondere werden die Oberflächenmoden durch ein Paar zentrumssymmetrischer Kurvensegmente dargestellt, die für \(\gamma <\sqrt{\varepsilon \mu }\) im zweiten und vierten Quadranten liegen [vgl. Abb. 2a] und der erste und dritte Quadrant für \(\gamma >\sqrt{\varepsilon \mu }\) [vgl. Abb. 2b]. Beachten Sie, dass die Oberflächenmoden und Massenmoden an den Punkten „verschmelzen“: \(\left( k_x,{k_z}\right) =\left( \pm |\sqrt{\varepsilon \mu }-\gamma | k_0,0 \right) \) für das chirale Metamaterial und \(\left( 0,\pm k_0\right) \) für Vakuum.

Die Volumenmoden für entgegengesetztes Vorzeichen des Chiralitätsparameters sind aufgrund der Symmetrie um \(\gamma \) identisch [vgl. Gl. (4) oder (5)]. Die Oberflächenmoden befinden sich in der gemeinsamen Lücke der Volumenmoden im Wellenvektorraum und tangential zu den Volumenmoden18,22, einschließlich des chiralen Metamaterials (schwarze feste Kontur) und des Vakuumdispersionskreises: \(k_x^2+k_z^2= k_0^2\) (grau gestrichelte Kontur). Dieses Merkmal ergibt sich aus der Tatsache, dass die Oberflächenmoden nahtlos in die Massenmoden übergehen müssen, wenn sie sich ihren Endpunkten nähern66. Die evaneszente Tiefe des Oberflächenmodus wächst bis zu dem Punkt, an dem der Oberflächenmodus mit dem Massenmodus verschmilzt22. Die Volumenmoden auf der Vakuumseite sind topologisch trivial, während sie auf der Seite des chiralen Mediums topologisch nichttrivial sind und topologische Invarianten ungleich Null aufweisen (vgl. Ergebnisse: Topologische Invarianten). Die Oberflächenmoden entsprechen dem topologischen Phasenübergang zwischen zwei unterschiedlichen topologischen Phasen im Impulsraum53,67, wobei ihre Existenz durch die Volumenkantenkorrespondenz garantiert wird. Insbesondere respektiert der Hamilton-Operator des photonischen Systems die Pseudo-TR-Symmetrie (vgl. Ergebnisse: Pseudo-Zeitumkehrsymmetrie), was zum topologischen Schutz photonischer Rand- oder Oberflächenzustände führt.

(a) Massenmoden und (b) Oberflächenmoden im Frequenzwellenvektorraum für das chirale Metamaterial mit \(\varepsilon _{\infty }=4\), \(\mu _{\infty }=3\) , \(\Omega _\mu =0,522\), \(\Omega _\gamma =0,723\) und \(\omega _0/\omega _p=0,8\). Wellenvektorkomponenten werden mit \(k_p=\omega _p/c\) skaliert. In (a) ist der weiße transparente Zylinder die Dispersionsoberfläche des Vakuums. In (b) sind Massenmoden bei konstanten Frequenzen für \(k_y=0\) in einem grauen Netz dargestellt. Roter Punkt ist der Weyl-Punkt. Die schwarze Linie ist der Fermi-Bogen.

Die Frequenzabhängigkeit des chiralen Mediums soll durch die Lorentz-Dispersionsmodelle charakterisiert werden: \(\varepsilon = \varepsilon _\infty - \omega _p^2/\left( \omega ^2 - \omega _0^2 \right) \ ) und \(\mu = \mu _\infty - \Omega _\mu \omega ^2/\left( \omega ^2-\omega _0^2\right) \), die normalerweise bei der Untersuchung von verwendet werden Metamaterialien68. Dabei ist \(\omega _p\) die Plasmafrequenz und \(\omega _0\) die Resonanzfrequenz. Der Chiralitätsparameter ist gegeben durch \(\gamma = \Omega _\gamma \omega \omega _{p}/\left( \omega ^2 - \omega _0^2 \right) \), wobei \(\Omega _ \gamma ^2=\Omega _\mu \)69,70. Dieses Modell garantiert, dass die Energiedichte im zugrunde liegenden Medium positiv definit ist (siehe Methoden D).

Abbildung 3a zeigt die Streuung der Massenmoden für das chirale Metamaterial im Frequenzwellenvektorraum. Die Massenmoden bestehen aus einer konischen Oberfläche in der Mitte einer zylindrischen Oberfläche. In der vorliegenden Konfiguration sind die Materialparameter so angeordnet, dass \(\varepsilon =\mu =\gamma =\frac{{{\varepsilon _\infty }{\mu _\infty }}}{{{\varepsilon _\ infty } + {\mu _\infty }}}\) bei der Frequenz \(\omega _1= \sqrt{\omega _0^2 + \left( {{\varepsilon _\infty } + {\mu _\infty }} \right) \omega _p^2/\varepsilon _\infty ^2}\), wobei die inneren Volumenmoden auf einen Punkt bei \(\left( k_t,k_z,\omega \right) =(0 reduziert werden ,0,\omega _1)\). Dies ist die Bedingung, die sowohl die „Spin“-entartete Bedingung erfüllt: \(\varepsilon =\mu \) (vgl. Ergebnisse: Spin-Bahn-Hamiltonianer.) als auch die kritische Bedingung: \(|\gamma |=\sqrt{ \varepsilon \mu }\) (vgl. Ergebnisse: Massenmoden.) im vorliegenden Medium, was auch die punktförmige Entartung in den Massenmoden bildet. Dabei ist \(\omega _1\) die Übergangsfrequenz zwischen den Massenmodi mit \(n_->0\) und \(n_-<0\) (vgl. Ergebnisse: Massenmodi) und den Massenmodi für entweder \(\omega >\omega _1\) oder \(\omega <\omega _1\) werden durch ähnliche elliptische Kurven dargestellt. Ersteres und Letzteres berühren sich an einem entarteten Punkt und bilden die konische Oberfläche für den inneren Massenmodus mit \(n_-\), während der äußere Massenmodus mit \(n_+\) (immer positiv) eine zylindrische Oberfläche ist. In dieser Situation ähnelt der Dispersionszweig der inneren Volumenmoden der linearen Kreuzung von Valenz- und Leitungsbändern im Weyl-Halbmetall71, wobei der Kreuzungspunkt als Weyl-Punkt und die zugehörige Frequenz \(\omega _1\) als Weyl-Frequenz bezeichnet wird . Die mit dem Weyl-Punkt verbundene topologische Ladung stimmt mit den topologischen Invarianten ungleich Null des Systems überein (vgl. Ergebnisse: Topologische Invarianten). Beachten Sie, dass der innere Massenmodus bei der Weyl-Frequenz auf einen einzigen Punkt reduziert wird. In dieser Hinsicht wird das zugrunde liegende Medium als photonisches Analogon des Typ-I-Weyl-Halbmetalls angesehen22.

Beachten Sie, dass in Abwesenheit von Chiralität (\(\gamma =0\)) die Massenmoden mit dem Dirac-Kegel mit vierfacher Entartung am Dirac-Punkt gekennzeichnet sind: \((k_x,k_y,\omega )=(0,0 ,\omega _1)\) im Wellenvektorraum [vgl. Gl. (7)]. In Gegenwart von Chiralität (\(\gamma \ne 0\)) wird die Inversionssymmetrie gebrochen (vgl. Ergebnisse: Massenmoden) und die vierfache Entartung wird aufgehoben. Infolgedessen weisen die Volumenmoden einen Weyl-Kegel mit zweifacher Entartung am Weyl-Punkt sowie eine zylindrische Oberfläche auf [vgl. Gl. (6)]. Die vom Weyl-Punkt getragene topologische Ladung stimmt mit den von Null verschiedenen topologischen Invarianten \(C_\pm =\pm 2\) des vorliegenden Systems überein (vgl. Ergebnisse: Topologische Invarianten.). Hier ist die topologische Ladung \(\pm 2\) mit dem unkonventionellen Spin-1-Weyl-Punkt mit dreifacher linearer Entartung verbunden46,72,73,74. Die Nettochiralität verschwindet im Weyl-Halbmetall, was mit der Tatsache übereinstimmt, dass die gesamte Chern-Zahl Null ist (vgl. Ergebnisse: Topologische Invarianten). Beachten Sie auch, dass es nur einen Weyl-Punkt im System gibt, was dem Fall von chiralem Metamaterial mit \(C_3\)-Rotationssymmetrie46 ähnelt. Das Merkmal eines einzelnen Weyl-Punkts kann in der jüngsten experimentellen Studie beobachtet werden, in der der Weyl-Punkt von geladenen Knotenwänden umgeben ist75. Abhängig von den konstitutiven Beziehungen der Metamaterialien können jedoch zwei42,53 oder vier44,55 Weyl-Punkte existieren. In gyroiden photonischen Kristallen40 und nicht-symmorphen phononischen Kristallen74 kann eine Reihe unterschiedlicher Weyl-Punkte gefunden werden. In jüngster Zeit wurden höherdimensionale topologische Systeme vorgeschlagen und erwartet, dass sie Eigenschaften besitzen, die ihre niedrigerdimensionalen Gegenstücke nicht unterstützen, wie z. B. Weyl-Oberflächen und Weyl-Bögen76,77.

Abbildung 3b zeigt die Streuung der Oberflächenmoden an der Grenzfläche zwischen Vakuum und dem chiralen Metamaterial im Frequenzwellenvektorraum. Zum Vergleich sind die Massenmoden bei konstanten Frequenzen für \(k_y=0\) in einem grauen Netz dargestellt und im selben Diagramm überlagert. Anders als die Oberflächenmoden in topologischen Isolatoren, die in der Frequenzbandlücke (Energiebandlücke) existieren, werden die Oberflächenmoden in lückenlosen topologischen Halbmetallen in dem Bereich definiert, der frei von Massenmoden bei derselben Frequenz (Energie) ist22. Aufgrund der Frequenzabhängigkeit der Materialparameter zeigt sich, dass die Streuung der Oberflächenmoden gekrümmt ist. Insbesondere bilden die Oberflächenmoden ein Paar spiralförmiger Oberflächenschichten, die sich um den Weyl-Kegel wickeln. Dieses Merkmal ist den helikoiden Randzuständen ähnlich, wenn auch nicht identisch, die in den topologischen Halbmetallen auftreten23,44,72,78. Ähnliche Merkmale helikoidartiger Randzustände wurden auch in chiralen Metamaterialien beobachtet46.

Beachten Sie, dass sich die Oberflächenmoden auf die andere Seite der \(k_z\)-Achse bewegen, wenn die Frequenz die Weyl-Frequenz \(\omega _1\) überschreitet, wo die Dispersion der Oberflächenschichten einen sanften Übergang erfährt. Bei der Weyl-Frequenz bildet der Randzustand, der den Weyl-Punkt verbindet, den sogenannten Fermi-Bogen. Der Oberflächenmodus bei der Weyl-Frequenz wird als Fermi-Bogen-ähnlicher Randzustand betrachtet. In der vorliegenden Konfiguration berühren sich die beiden spiralförmigen Oberflächenblätter am Weyl-Punkt und zwei zugehörige Fermi-Bogen-ähnliche Randzustände verketten sich, um ein gerades Liniensegment zu ergeben.

Zusammenfassend haben wir die photonischen topologischen Phasen in chiralen Metamaterialien untersucht, die durch magnetoelektrische Tensoren mit diagonalen Chiralitätskomponenten gekennzeichnet sind. Das zugrunde liegende Medium gilt als photonisches Analogon des topologischen Halbmetalls mit einem Weyl-Kegel und einer zylindrischen Oberfläche im Frequenzwellenvektorraum. Oberflächenmoden an der Grenzfläche zwischen Vakuum und chiralem Metamaterial existieren in ihrer gemeinsamen Lücke im Wellenvektorraum, die durch algebraische Gleichungen analytisch formuliert werden. Insbesondere bilden die Oberflächenmoden ein Paar spiralförmiger Oberflächenschichten, die sich um den Weyl-Kegel winden und den helikoiden Oberflächenzuständen ähneln, die in topologischen Halbmetallen auftreten.

Die Wellengleichung für die Hybridmoden \(\mathbf{F^\pm }={\mathbf{{E}}\pm in \mathbf{{H'}}}\) in Gl. (3) kann umgeschrieben werden als

Wo

und \( \tilde{\psi _ \pm } = {\left( - {\frac{{ {F_x^\pm } \mp i{F_y^\pm }}}{{\sqrt{2} }}, {F_z},\frac{{{F_x^\pm } \pm i{F_y^\pm }}}{{\sqrt{2} }}} \right) ^T}\) sind die Pseudospinzustände, die \ enthalten (\pm \pi /2\) Phasendifferenz zwischen den transversalen Hybridfeldkomponenten (in Bezug auf die optische Achse des Mediums)57. In der Umgebung einer Referenzfrequenz \(\omega _\text {ref}\) kann \({\varepsilon _n}\) (\(n=t,z\)) angenähert werden als \({\varepsilon _n } \ approx {\varepsilon _{n0}} + {\left. {\frac{{d{\varepsilon _n}}}{{d\omega }}} \right| _{\omega = {\omega _\ text {ref}}}}\left( {\omega - {\omega _\text {ref}}} \right) \equiv {\varepsilon _{n0}} + {\tilde{\varepsilon }_n}\delta \omega /{\omega _\text {ref}}\), wobei \({\tilde{\varepsilon }}_n\) positiv definit ist57. Unter Berücksichtigung der Frequenzdispersion des Mediums in der Nähe der Referenzfrequenz ergibt sich Gl. (18) wird als Paar von Eigensystemen umgeordnet:

Wo

und \({\psi _ \pm } = {U^{ - 1}}{\tilde{\psi }_ \pm }\) mit \(U = \mathrm{{diag}}\left( {\sqrt {{{\tilde{\varepsilon}}_z}/{{\tilde{\varepsilon}}_t}} ,1,\sqrt{{{\tilde{\varepsilon}}_z}/{{\tilde{\varepsilon }}_t}} } \right) \). Im isotropen Fall gilt \({\varepsilon _{t0}} = {\varepsilon _{z0}} \equiv \varepsilon \) und \({\tilde{\varepsilon }_t} = {\tilde{\varepsilon }_z} \equiv \tilde{\varepsilon }\), Gl. (21) wird vereinfacht zu

Wo

und \(\mathscr{D}_\pm = \pm {\omega _{\textrm{ref}}}\left( {\object psilon \pm \gamma /\assign{\object psilon }} \right) \ ). Hier ist \(v=c/{{\tilde{\varepsilon}}}\), \(\mathbf{{k}}=k_x\hat{x}+k_y\hat{y}+k_z\hat{z }\), \(\mathbf{{S}} = {S_x}\hat{x} + {S_y}\hat{y} + {S_z}\hat{z}\), mit

sind die Spinmatrizen von Spin 1 und * bezeichnet das komplexe Konjugat.

Bezogen auf die Kugelkoordinaten gilt der Hamilton-Operator \(\mathscr{H}_\pm \) [vgl. Gl. (25)] wird umgeschrieben als

wobei \(k_x= |\textbf{k}|\sin \theta \cos \phi \), \(k_y= |\textbf{k}|\sin \theta \sin \phi \) und \({k_z } = |\textbf{k}|\cos \theta \) verwendet wurden. Dabei sind \(\theta \) und \(\phi \) die Polar- bzw. Azimutwinkel auf der Oberfläche S: \(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2= |\textbf{k}| ^2\). Das Eigensystem für den Hamiltonoperator \(\mathscr{H}_\pm \):

wird gelöst, um die Eigenwerte \(\lambda _ \pm ^\sigma = \sigma v |\textbf{k}|\) (\(\sigma =\pm 1, 0\)) und die normalisierten Eigenvektoren als zu erhalten

Beachten Sie hier, dass der Eigenwert \(\lambda _ \pm ^\sigma \) mit \(\delta \omega \) in Gleichung zusammenhängt. (24) als \(\lambda _ \pm ^\sigma = \mathscr{D}_\pm \pm \delta \omega \). Basierend auf Gl. (29) und (30), die Berry-Verbindungen \(\textbf{A}_\pm ^\sigma =-i\left\langle {{\psi _\pm ^ \sigma }} \right. \left| { \nabla {\psi _\pm ^ \sigma }} \right\rangle \) erhält man als

Die Berry-Krümmungen \(\textbf{F}_\sigma =\nabla \times \textbf{A}_\pm ^\sigma \) sind dann gegeben durch

Integriert man über die Sphäre S, ergeben sich die Chern-Zahlen \({C_\sigma } = \frac{1}{2\pi }\int _S {\textbf{F}_\sigma \cdot d\mathbf{{s}}} \) ergeben berechnet

Nach Maxwells Gleichungen sind die Eigenfelder auf beiden Seiten der Grenzfläche (\(y=0\)) durch die nichttrivialen Lösungen von \(\textbf{E}\) und \(\textbf{H}\) gegeben [vgl . Gl. (3)] ​​oder der Nullraum von \(\mathscr{H}_m\) [vgl. Gl. (14)]. Auf der Vakuumseite (z. B. \(y>0\)) gilt:

wobei \(k_y^{(0)} = \sqrt{k_0^2 - k_x^2-k_z^2}\) die normale (zur Grenzfläche) Wellenvektorkomponente im Vakuum ist. Auf der Seite des chiralen Mediums (\(y<0\)) sind die Eigenfelder gegeben durch

wobei \({n _ \pm } = \sqrt{\varepsilon \mu } \pm \gamma \) und \(k_y^{(1)} = - \sqrt{n _ + ^2k_0^2 - k_x^ 2 - k_z^2}\), \(k_y^{(2)} = - \sqrt{n _ - ^2k_0^2 - k_x^2 - k_z^2}\) sind die normalen Wellenvektorkomponenten im Chiral Mittel. Beachten Sie, dass die Eigenfelder in Gl. (35)–(38) teilen die gemeinsamen Tangentialwellenvektorkomponenten \(k_x\) und \(k_z\) über die Grenzfläche als direkte Folge der Phasenanpassung elektromagnetischer Felder. Damit die Oberflächenwellen auf der Vakuumseite existieren (\(y>0)\), sollte \(k_y^{(0)}\) rein imaginär mit einem positiven Wert sein, sodass die Wellen von der Grenzfläche weg exponentiell abklingen . Auf der Seite des chiralen Mediums (\(y<0\)) sollten \(k_y^{(1)}\) und \(k_y^{(2)}\) aus einem ähnlichen Grund rein imaginär mit einem negativen Wert sein .

Die tangentialen elektrischen und magnetischen Feldkomponenten sind an der Grenzfläche kontinuierlich:

wobei \(n=x,z\) und \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\), \(C_4\) Konstanten sind. Die Existenz einer nichttrivialen Lösung dieser Konstanten erfordert, dass die Determinante der 4 \(\times \) 4-Matrix aus den Gleichungen erhalten wird. (39) und (40) Null sein, was die charakteristische Gleichung der Oberflächenmoden ergibt als

Die zeitlich gemittelte Energiedichte in einem verlustfreien Medium wird durch79 angegeben

Wo

und \(V=\left( \varepsilon _0 E_x,\varepsilon _0 E_y,\varepsilon _0 E_z,\mu _0 H_x,\mu _0 H_y,\mu _0 H_z \right) ^T\), mit \({V ^\dag }\) ist die hermitesche Konjugation von V. Die Energiedichte muss positiv definit sein, was bedeutet, dass sowohl die Spur als auch die Determinante von M positiv sind:

Basierend auf dem Lorentz-Dispersionsmodell für das vorliegende Medium (vgl. Ergebnisse: Photonisches Weyl-System.) werden diese Größen

Und

Beides ist in der vorliegenden Studie positiv.

Alle während dieser Studie generierten oder analysierten Daten sind in diesem veröffentlichten Artikel enthalten.

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Diese Arbeit wurde teilweise vom Ministerium für Wissenschaft und Technologie, Taiwan (MOST 111-2221-E-002-068-MY3) unterstützt.

Institut für Angewandte Mechanik, National Taiwan University, Taipei, 106, Taiwan

Ruey-Lin Chern

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RLC leitete die Arbeit und verfasste das Manuskript.

Korrespondenz mit Ruey-Lin Chern.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Chern, RL. Photonische helikoidartige Oberflächenzustände in chiralen Metamaterialien. Sci Rep 13, 13934 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-40926-8

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Eingegangen: 31. Mai 2023

Angenommen: 18. August 2023

Veröffentlicht: 25. August 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-40926-8

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